Πώς να λύσετε το πρόβλημα της πιθανότητας;

Η θεωρία της πιθανότητας είναι αρκετά εκτεταμένηανεξάρτητο κλάδο των μαθηματικών. Στο σχολικό μάθημα, η θεωρία των πιθανοτήτων θεωρείται πολύ επιφανειακή, αλλά στο USE και στο GIA υπάρχουν καθήκοντα σε αυτό το θέμα. Ωστόσο, για να λύσει το πρόβλημα της σχολικής φυσικά δεν είναι πάρα πολύ δύσκολο (τουλάχιστον για ό, τι αφορά τις αριθμητικές πράξεις) - δεν υπάρχει καμία ανάγκη να εξεταστεί παραγώγων, ολοκληρωμάτων και να λάβει για την επίλυση σύνθετων τριγωνομετρικές μετασχηματισμοί - το πιο σημαντικό, να είναι σε θέση να χειριστούν απλούς αριθμούς και κλάσματα.

Θεωρία της πιθανότητας - βασικοί όροι

Οι βασικοί όροι της θεωρίας των πιθανοτήτων είναι οι δοκιμές,έκβαση και τυχαία εκδήλωση. Μια δοκιμή στη θεωρία των πιθανοτήτων είναι το πείραμα - να ρίξει ένα νόμισμα, να τραβήξει μια κάρτα, να κτυπήσει μια ρίψη - όλα αυτά είναι μια δοκιμή. Το αποτέλεσμα της δοκιμής, όπως έχετε ήδη μαντέψει, λέγεται αποτέλεσμα.

Και ποια είναι η τυχαία εκδήλωση; Στην θεωρία πιθανοτήτων, θεωρείται ότι η δοκιμή δεν διεξάγεται μία φορά και υπάρχουν πολλά αποτελέσματα. Ένα τυχαίο συμβάν είναι το σύνολο των αποτελεσμάτων των δοκιμών. Για παράδειγμα, αν πετάξετε ένα νόμισμα, μπορεί να υπάρχουν δύο τυχαία γεγονότα - ένας αετός ή ουρές θα αποχωρήσουν.

Μη συγχέετε την έννοια του αποτελέσματος και τυχαίου γεγονότος. Το αποτέλεσμα είναι ένα αποτέλεσμα μιας δοκιμής. Ένα τυχαίο συμβάν είναι ένα σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων. Με την ευκαιρία, υπάρχει και ένας τέτοιος όρος ως αδύνατο γεγονός. Για παράδειγμα, το συμβάν "έπεσε τον αριθμό 8" στα τυποποιημένα ζάρια είναι αδύνατο.

Πώς να βρείτε την πιθανότητα;

Όλοι καταλαβαίνουμε ότι η πιθανότητα είναι,και πολύ συχνά χρησιμοποιούμε αυτή τη λέξη στο λεξικό μας. Επιπλέον, μπορούμε ακόμη να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα σχετικά με την πιθανότητα ενός γεγονότος, για παράδειγμα, εάν υπάρχει χιόνι έξω από το παράθυρο, είμαστε πιο πιθανό να πούμε ότι δεν είναι καλοκαίρι τώρα. Ωστόσο, πώς να εκφράσετε αυτήν την υπόθεση αριθμητικά;

Προκειμένου να εισαχθεί ένας τύπος για την εύρεσηπιθανότητα, εισάγουμε μια ακόμη έννοια - ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα, δηλαδή ένα αποτέλεσμα που είναι ευνοϊκό για ένα συγκεκριμένο γεγονός. Ο ορισμός είναι μάλλον διφορούμενος, βέβαια, αλλά από την κατάσταση του προβλήματος είναι πάντα σαφές ποια από τα αποτελέσματα είναι ευνοϊκά.

Για παράδειγμα: Υπάρχουν 25 άτομα στην τάξη, τρεις από αυτούς είναι η Katie. Ο δάσκαλος ορίζει την Olya στην υπηρεσία, και χρειάζεται συνεργάτη. Ποια είναι η πιθανότητα η Katya να γίνει εταίρος;

Σε αυτό το παράδειγμα, ένα ευνοϊκό αποτέλεσμα - εταίρος Katya. Λίγο αργότερα θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Αλλά πρώτα, με τη βοήθεια ενός πρόσθετου ορισμού, εισάγουμε έναν τύπο για την εύρεση της πιθανότητας.

• P = A / N, όπου P - πιθανότητα, A - αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων, N - συνολικός αριθμός αποτελεσμάτων.

Όλα τα σχολικά καθήκοντα περιστρέφονται γύρω από αυτόν τον τύπο και η κύρια δυσκολία είναι συνήθως η εύρεση αποτελεσμάτων. Μερικές φορές είναι εύκολο να βρεθούν, μερικές φορές όχι.

Πώς να λύσετε το πρόβλημα της πιθανότητας;

Εργασία 1

Λοιπόν, ας λύσουμε τώρα το παραπάνω πρόβλημα.

Αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων (ο δάσκαλος θα επιλέξειKatya) ισούται με τρία, επειδή η Kat στην τάξη είναι τρία και το συνολικό αποτέλεσμα είναι 24 (25-1, επειδή η Olya έχει ήδη επιλεγεί). Τότε η πιθανότητα είναι: P = 3/24 = 1/8 = 0.125. Έτσι, η πιθανότητα ότι ο εταίρος της Katya θα είναι η Katya είναι 12,5%. Είναι εύκολο, έτσι; Ας ρίξουμε μια ματιά σε κάτι πιο περίπλοκο.

Εργασία 2

Το κέρμα ρίχτηκε δύο φορές, ποια είναι η πιθανότητα να πέσει ο συνδυασμός: ένας αετός και μία ουρά;

Επομένως, θεωρούμε τα γενικά αποτελέσματα. Πώς μπορεί να μειωθεί νομίσματα - τα αετός / αετός ουρές / ουρές, τα κεφάλια / ουρές, ουρές / Eagle; Έτσι, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων - 4. Πόσες ευνοϊκά αποτελέσματα; Δύο - κεφάλια / ουρές και ουρές / αετός. Έτσι, η πιθανότητα των συνδυασμών Eagle / ουρές είναι:

• Ρ = 2/4 = 0,5 ή 50 τοις εκατό.

Και τώρα θεωρούμε ένα τέτοιο πρόβλημα. Η Μάσα έχει 6 νομίσματα στην τσέπη της: τιμή δύο αξόνων 5 ρούβλια και τιμή τεσσάρων ονομαστικών 10 ρούβλια. Ο Masha άλλαξε 3 νομίσματα σε μια άλλη τσέπη. Ποια είναι η πιθανότητα ότι τα κέρματα των 5 ρούβλια θα είναι σε διαφορετικές τσέπες;

Για λόγους απλότητας, ας δηλώσουμε νομίσματα σε αριθμούς - 1,2 - κέρματα πέντε ρούβλια, κέρματα 3,4,5,6 - δέκα ρούβλια. Λοιπόν, πώς μπορούν τα νομίσματα να βρίσκονται στην τσέπη σας; Υπάρχουν 20 συνδυασμοί:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι ορισμένοι συνδυασμοί έχουν εξαφανιστεί, για παράδειγμα, 231, αλλά στην περίπτωσή μας οι συνδυασμοί των 123, 231 και 321 είναι ισοδύναμοι.

Τώρα εξετάζουμε πόσα ευνοϊκάαποτελέσματα. Για αυτούς παίρνουμε αυτούς τους συνδυασμούς στους οποίους υπάρχει είτε 1 είτε 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Οι 12. Έτσι,

• Ρ = 12/20 = 0,6 ή 60%.

Τα προβλήματα στην θεωρία πιθανοτήτων που παρουσιάζονται από τοεδώ είναι αρκετά απλή, αλλά δεν νομίζω ότι η θεωρία των πιθανοτήτων - είναι ένα απλό τμήμα μαθηματικών. Αν αποφασίσετε να συνεχίσουν την εκπαίδευσή τους στο γυμνάσιο (εκτός από την ανθρωπιστική ειδικότητες), που είναι βέβαιο ότι θα είναι ένα ζευγάρι των ανώτερων μαθηματικών, τα οποία θα σας παρουσιάσουμε τις πιο πολύπλοκες όρους της θεωρίας, και το πρόβλημα εκεί θα είναι πολύ πιο δύσκολη.

Διαβάστε επίσης το άρθρο Πώς να υπολογίσετε την πιθανότητα.