Πώς να βρείτε το παράγωγο;

Το πρόβλημα της εξεύρεσης παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησηςείναι ένα από τα κύρια μαθήματα στα μαθηματικά στο λύκειο και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Είναι αδύνατο να ερευνήσουμε πλήρως μια συνάρτηση, να κατασκευάσουμε το γράφημά της χωρίς να πάρουμε το παράγωγο του. Το παράγωγο μιας συνάρτησης μπορεί εύκολα να βρεθεί γνωρίζοντας τους βασικούς κανόνες της διαφοροποίησης, καθώς και τον πίνακα παραγώγων των βασικών λειτουργιών. Ας υπολογίσουμε πώς να βρούμε το παράγωγο μιας συνάρτησης.

Μια παράγωγος συνάρτηση είναι το όριο της σχέσης της αύξησης μιας συνάρτησης με την αύξηση του επιχειρήματος, όταν η αύξηση του επιχειρήματος τείνει στο μηδέν.

Είναι μάλλον δύσκολο να κατανοήσουμε αυτόν τον ορισμό, δεδομένου ότιόρος όρια δεν έχουν μελετηθεί πλήρως στο σχολείο. Αλλά για να βρείτε τα παράγωγα των διαφόρων λειτουργιών, να κατανοήσουν τον ορισμό δεν είναι απαραίτητο, αφήστε τους ειδικούς και τους μαθηματικούς προχωρήσει άμεσα στην παράγωγο.

Η διαδικασία εύρεσης ενός παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Όταν η λειτουργία διαφοροποιείται, αποκτάμε μια νέα συνάρτηση.

Για τις ονομασίες τους θα χρησιμοποιήσουμε τα λατινικά γράμματα f, g, κλπ.

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές σημειώσεις για τα παράγωγα. Θα χρησιμοποιήσουμε το χτύπημα. Για παράδειγμα, g "σημαίνει ότι θα βρούμε το παράγωγο του g.

Ο πίνακας των παραγώγων

Για να απαντήσουμε στην ερώτηση πώς να βρούμεπαράγωγο, είναι απαραίτητο να φέρουμε τον πίνακα παραγώγων των βασικών λειτουργιών. Για τον υπολογισμό των παραγώγων των στοιχειωδών λειτουργιών, δεν είναι απαραίτητο να εκτελούνται περίπλοκοι υπολογισμοί. Αρκεί μόνο να δούμε την αξία του στον πίνακα παραγώγων.

1. C "= 0
2. (sin x) "= cos x
3. (cos x) "= -sin x
4. (χⁿ) "= ηχ^n-1
5. (π.χ.^x) "= e^x
6. (ln x) "= 1 / χ
7. (α^x) "= α^xΣε ένα
8. (log_αx) "= 1 / x ln a
9. (tan x) "= 1 / cos²x
10. (ctgx) "= - 1 / sin²x
11. (arcsin χ) "= 1 / √ (1-χ²),
12. (arccos χ) "= - 1 / √ (1-χ²),
13. (arctg χ) "= 1 / (1 + χ²),
14. (arcctg χ) "= - 1 / (1 + χ²),

Παράδειγμα 1. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = 500.

Βλέπουμε ότι αυτό είναι μια σταθερά. Σύμφωνα με τον πίνακα των παραγώγων, είναι γνωστό ότι το παράγωγο της σταθεράς είναι μηδέν (τύπος 1).

(500) "= 0

Παράδειγμα 2. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = x¹⁰⁰.

Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος στον εκθέτη της οποίας 100 και για να βρει το παράγωγό της πρέπει να πολλαπλασιάσει τη συνάρτηση με τον εκθέτη και να μειωθεί κατά 1 (τύπος 3).

(χ¹⁰⁰) "= 100 χ⁹⁹

Παράδειγμα 3. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = 5^x

Αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση, υπολογίζουμε το παράγωγο της με τον τύπο 4.

(5^x) "= 5^xln5

Παράδειγμα 4. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = log₄x

Το παράγωγο του λογαρίθμου βρίσκεται από τον τύπο 7.

(log₄x) "= 1 / x ln 4

Κανόνες διαφοροποίησης

Ας μάθουμε τώρα πώς να βρούμετο παράγωγο της συνάρτησης, αν δεν βρίσκεται στον πίνακα. Οι περισσότερες από τις λειτουργίες που δεν είναι στοιχειώδη, και αντιπροσωπεύουν συνδυασμούς στοιχειωδών λειτουργιών χρησιμοποιώντας απλές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, και πολλαπλασιασμού από έναν αριθμό). Για να βρουν τα παράγωγά τους, πρέπει να γνωρίζουν τους κανόνες διαφοροποίησης. Επιπλέον, τα γράμματα f και g υποδηλώνουν λειτουργίες και το C είναι μια σταθερά.

1. Ο σταθερός συντελεστής μπορεί να ληφθεί ως σημάδι του παραγώγου

(Cf) "= Cf"

Παράδειγμα 5. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = 6 * x⁸

Παίρνουμε τον σταθερό συντελεστή 6 και διαφοροποιούμε μόνο το x⁴. Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος, το παράγωγο της οποίας βρίσκεται από τον τύπο 3 του πίνακα παραγώγων.

(6 * χ⁸) "= 6 * (χ⁸) "= 6 * 8 * χ⁷= 48 * χ⁷

2. Το παράγωγο ενός ποσού ισούται με το άθροισμα των παραγώγων

Στη συνέχεια:

(f + g) "= f" + g "

Παράδειγμα 6. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = x¹⁰⁰+ sin x

Η συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο λειτουργιών των οποίων τα παράγωγα μπορούν να βρεθούν από τον πίνακα. Δεδομένου ότι (x¹⁰⁰) "= 100 χ⁹⁹ και (sin x) "= cos x. Το παράγωγο του ποσού θα είναι ίσο με το άθροισμα αυτών των παραγώγων:

(χ¹⁰⁰+ αμαρτία x) "= 100 x⁹⁹+ cos x

3. Το παράγωγο της διαφοράς είναι ίσο με τη διαφορά των παραγώγων

(f - g) "= f" - g "

Παράδειγμα 7. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = x¹⁰⁰ - cos x

Αυτή η λειτουργία είναι η διαφορά των δύολειτουργίες των οποίων παράγωγα μπορούμε επίσης να βρούμε από το τραπέζι. Τότε το παράγωγο της διαφοράς είναι ίσο με τη διαφορά των παραγώγων και δεν θα ξεχάσουμε να αλλάξουμε το σημείο, αφού (cos x) "= - sin x.

(χ¹⁰⁰ - cos x) "= 100χ⁹⁹ + sin x

Παράδειγμα 8. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = e^x+ tg χ-χ².

Σε αυτή τη συνάρτηση υπάρχει ένα άθροισμα και μια διαφορά, βρίσκουμε τα παράγωγα κάθε όρου:

(π.χ.^x) "= e^x, (tgx) "= 1 / cos²x, (x²) "= 2. Τότε το παράγωγο της αρχικής συνάρτησης είναι ίσο με:

(π.χ.^x+ tg χ-χ²) "= e^x+ 1 / cos²x -2 x

4. Το παράγωγο ενός έργου

(f * g) "= f" * g + f * g "

Παράδειγμα 9. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = cos x * e^x

Για να γίνει αυτό, πρώτα βρούμε το παράγωγο του κάθε συντελεστή (cos x) "= - sin x και (e^x) "= e^x. Τώρα θα αντικαταστήσουμε τα πάντα στη φόρμουλα του προϊόντος. Πολλαπλασιάζουμε το παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με το δεύτερο και προσθέτουμε το προϊόν της πρώτης συνάρτησης στο παράγωγο του δεύτερου.

(cos x * e^x) "= e^xcos x - e^x* αμαρτία x

5. Το παράγωγο μιας συγκεκριμένης

Στη συνέχεια:

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g²

Παράδειγμα 10. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης y = x⁵⁰/ sin x

Για να βρούμε το παράγωγο του πηκτικού, πρώτα βρούμε ξεχωριστά το παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή: (x⁵⁰) "= 50χ⁴⁹ και (sin x) "= cos x. Αντικαθιστώντας το παράγωγο του πηλίκο στον τύπο, παίρνουμε:

(χ⁵⁰/ sin x) "= 50x⁴⁹* αμαρτία x - x⁵⁰* cos x / sin²x

Παράγωγο σύνθετης λειτουργίας

Μια σύνθετη λειτουργία είναι μια λειτουργία που αντιπροσωπεύεται από τη σύνθεση πολλών λειτουργιών. Για να βρούμε το παράγωγο μιας σύνθετης λειτουργίας, υπάρχει και ένας κανόνας:

(u (v)) "= u" (ν) * ν "

Ας υπολογίσουμε πώς να βρούμε το παράγωγο μιας τέτοιας λειτουργίας. Έστω το y = u (v (x)) είναι μια σύνθετη λειτουργία. Ονομάζουμε τη λειτουργία u εξωτερική και v - εσωτερική.

Για παράδειγμα:

y = sin (χ³) είναι μια σύνθετη λειτουργία.

Στη συνέχεια y = sin (t) είναι μια εξωτερική συνάρτηση

t = x³ - εσωτερικό.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Με τον τύπο, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τα παράγωγα των εσωτερικών και εξωτερικών λειτουργιών.

(sin t) "= cos (t) είναι το παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (όπου t = x³),

(χ³) "= 3χ² είναι το παράγωγο της εσωτερικής λειτουργίας

Τότε (αμαρτία (x³)) "= cos (x³) * 3x²είναι το παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης.