Πώς να βρείτε όρια;

Υπάρχει ένα τέτοιο πράγμα στα μαθηματικά ως το όριολειτουργία. Για να καταλάβουμε πώς να βρούμε τα όρια, θυμηθείτε τον ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης: η συνάρτηση f (x) έχει το όριο L στο σημείο x = a αν για κάθε ακολουθία τιμών x που συγκλίνει σε a, ακολουθεί η ακολουθία τιμών y:

L lim f (x) = L
x → α

Η έννοια και οι ιδιότητες των ορίων

Ποιο είναι το όριο, μπορείτε να καταλάβετε από το παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση y = 1 / x. Αν αυξήσουμε διαδοχικά την τιμή του x και δούμε τι είναι y, έχουμε όλες τις μειούμενες τιμές: για x = 10000 y = 1/10000; σε χ = 1.000.000 γ = 1 / 1.000.000. Δηλαδή. Όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y. Εάν το x = ∞, το y είναι τόσο μικρό που μπορεί να θεωρηθεί ίσο με το 0. Έτσι, το όριο της συνάρτησης y = 1 / x για το x που τείνει στο ∞ είναι 0. Αυτό γράφεται ως εξής:

lim1 / x = 0
x → ∞

Το όριο λειτουργίας έχει πολλές ιδιότητες που πρέπει να θυμόμαστε: αυτό θα κάνει πολύ πιο εύκολη την επίλυση των προβλημάτων εύρεσης των ορίων:

Το όριο του ποσού είναι ίσο με το άθροισμα των ορίων: lim (x + y) = lim x + lim y
Το όριο του προϊόντος είναι προϊόν των ορίων: lim (xy) = lim x * lim y
Το όριο του πηκτικού είναι ίσο με το πηλίκο των ορίων: lim (x / y) = lim x / lim y
Ο σταθερός παράγοντας λαμβάνεται ως οριακή τιμή: lim (Cx) = C lim x

Για μια συνάρτηση y = 1 / x, στην οποία x → ∞, το όριο είναι μηδέν, ως x → 0, το όριο είναι ∞.

lim (sin x) / x = 1 x → 0

Στο άρθρο Πώς να λύσουμε τα όρια, περιγράφεται λεπτομερώς η μεθοδολογία για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Και θα εξετάσουμε διάφορα παραδείγματα.

Επίλυση παραδειγμάτων για όρια

Είναι πάντα απαραίτητο να αρχίσουμε να βρίσκουμε τα όρια των λειτουργιών υποκαθιστώντας στη συνάρτηση την τιμή του x στην οποία τείνει.

Παράδειγμα 1

Lim (χ-3) = lim (3-3) = 0
x → 3

Παράδειγμα 2

Lim [x 2 / (1-x)]. Αν αντικαταστήσουμε το x = ∞, έχουμε αποκτήσει
x → ∞
∞ ² / (1-∞) = ∞² / (-∞).

Ένα άπειρο στον αριθμητή και στον παρονομαστή μειώνεται:

∞ / (-1) = -∞. Ως εκ τούτου,
Lim [x 2 / (1-x)] = -∞.
x → ∞

Στα παραδείγματα αυτά, όλα είναι απλά. Ωστόσο, συνήθως τα όρια των λειτουργιών αναζητούνται για τιμές x που δημιουργούν αβεβαιότητα τύπου 0/0 ή ∞ / ∞. Τέτοιες αβεβαιότητες πρέπει να αποκαλυφθούν.

Παράδειγμα 3

Lim [(2χ2-3χ-5) / (1 + χ + 3χ2)]
x → ∞

Αντικαθιστούμε το x = ∞ και παίρνουμε το άπειρο στον αριθμητή και τον παρονομαστή, τόσο εκεί και εκεί στην πλατεία. Ως εκ τούτου, έχουμε αποκτήσει μια απροσδιοριστία τύπου ∞ / ∞.

Ας προσπαθήσουμε πρώτα να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη του κλάσματος στον υψηλότερο βαθμό - χ²:

Lim {[(2x2-3x-5) / x2] / [(1 + χ + 3χ2) / x²]} =
x → ∞
= Lim {[(2χ2 / x2) - (3χ / χ2) - (5 / x²)] / [(1 / x²) + (x /
x → ∞
Lim {[2 - (3 / x) - (5 / x2)] / [(1 / x 2) + (1 / x) + 3]
x → ∞
Για x = ∞, 3 / x = 0. 5 / χ2 = 0. 1 / x² = 0. 1 / χ = 0.

Ως εκ τούτου, από όλα τα φοβερά τετράφυλλα κλάσματα που έχουμε ακόμα:

Lim 2/3 = 2/3.

Απάντηση:

Lim [(2χ2-3χ-5) / (1 + χ + 3χ2)] = 2/3
x → ∞

Σε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες των ορίων και να μετατρέψετε το όριο του πηκτικού σε ιδιωτικό όριο και στη συνέχεια να αντιπροσωπεύσετε τα όρια του ποσού στον αριθμητή και τον παρονομαστή ως άθροισμα των ορίων.

Αν πρέπει να βρείτε το όριο μιας σύνθετης φόρμουλας με την οποία δεν ξέρετε τι να κάνετε ή απλά δεν έχετε χρόνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική υπηρεσία.

Διαβάστε περισσότερα: